配网三相潮流的常雅可比牛顿算法

摘要：根据牛顿法的基本原理，本文基于配电网的特点，提出了一种新的适用于不对称配电网的三相常雅可比潮流算法。该算法引入内节点来处理平衡节点处的三相电压不平衡，同时对负荷节点进行了合理的假设，zui终得到的雅可比矩阵为常数矩阵，在迭代过程中保持不变；同时算法不解耦，不受大的R／X的影响；该算法对有环配网也同样适用。文中通过对算例进行仿真，表明该算法有可靠的稳定性和好的收敛速度。
关键词：三相潮流；配电网潮流；常雅可比 1　引言　　
　　在目前的电力系统中，特别是配电系统中，设备参数经常出现三相不对称，而从已投入的配网运行情况来看，配电负荷也存在着严重的三相不对称，因而基于系统三相参数对称及三相负荷平衡的常规潮流算法就不太适用，需要对系统进行三相潮流计算。
　　与输电网相比，配电网的网络结构有着明显的特点：1）配电网的网络结构呈辐射状或是弱环网，只有在倒换负荷或发生故障时才会出现短时环网运行情况；2）配电线路一般较输电线路长且分支较多，配电线的线径比输电网细，这就导致配电网的R／X远较输电系统的要大。
　　目前，在三相潮流计算方面进行了较多研究，出现了多种三相潮流算法，具有代表性的有牛顿－拉夫逊法［1］，快速P－Q解耦法［2］，混合法［4］等，还有将前推－回代算法推广到三相潮流计算［3］的方法。对于广泛采用的牛顿法，由于其雅可比矩阵在迭代过程中要重新形成，使得其计算量很大，从而影响了快速性的要求；而快速解耦法由于其苛刻的假设条件，也不适用于R／X较大的配电网；常用于配网的前推－回代算法在出现环网时也无能为力。
　　针对配电网一般没有PV节点的特点，本文基于牛顿法的基本原理，从复功率的角度出发，在推导过程中进行了合理的近似，同时对平衡节点的三相电压不对称情况进行了适当的处理，推导出了一种新的配网三相潮流算法。此方法的雅可比矩阵为常数矩阵，大大降低了计算量；收敛性不受大的R／X的影响，并且适用于有环配网。
2　三相元件模型
2．1　线路模型
　　配网的三相线路模型也采用π型等值电路，与单相潮流不同的是，这里的各线路阻抗和接地导纳要用3×3的矩阵来描述。线路模型见图1。2．2　变压器模型
　　进行三相潮流计算的变压器模型比较复杂，需要考虑变压器的接线方式。常见的变压器连接方式有：Y0－Y0，Y0－Y，Δ－Y0，Y－Y，Y－Δ，Δ－Δ。具体的变压器计算模型详见文献［6］。
3　三相潮流的基本原理
　　在配电网中一般不含PV节点，除了平衡节点外，其余均为负荷节点。本文在新算法的推导过程中，分别对平衡节点和负荷节点（即PQ节点）作了不同的处理，分别论述如下。
3．1　PQ节点的处理
　　给定网络中各元件参数后，即可形成三相网络节点导纳矩阵Y，如网络中节点数为n，则导纳阵的阶数为3n×3n。对应的网络方程为I＝YV，方程阶数为3n。暂不考虑平衡节点，首先可得系统各相节点功率方程为　　电力系统中，根据自导纳的定义，对于负荷节点一般都有如下关系：根据以上各式，可得修正方程式（10）。
将式（10）进行矩阵变换可得式（11）。
　　式（10）和式（11）矩阵计算中元素均为复数，可以继续分解为实数计算。本文的编程是采用复数形式。以上的推导是针对PQ节点而言的，以下将进一步讨论对平衡节点的功率方程。3．2　平衡节点的处理
　　通常，在配电网三相潮流计算中，认为平衡点的三相电压完全对称，将此点作为系统参考节点，因此，在网络方程变量中不会包括平衡节点的电压。但是在实际配网运行中，由于网络中各种不对称情况的影响，系统的三相潮流也不对称，在平衡点处尽管有电压调节器的调节作用，仍然不能保证此处三相电压完全对称，通常只能调节某一相电压或线电压保持不变。在这种情况下，有必要将平衡点处三相电压区别对待，三相电压不完全是已知量，需要对平衡点列功率方程。
　　本文对平衡点处理时认为其三相电压不对称，需要进行相应的计算。将平衡节点的a相电压取为系统的基准电压，即Va＝Vs，Ha＝Hs，另两相作为待求变量参加计算。在平衡节点处引入发电机内电势节点，内节点记入后的网络如图2所示。增加内电势节点后，平衡节点i变为一中间节点，其三相注入功率都为零。发电机内部结构对称，因此内节点电势三相对称，因此gi点的b，c相电压可以由a相电压完全表示，即　　由以上可以看出，对于平衡节点i，b和c两相分别列出了功率方程及对应的电压变量。与通常潮流计算不同的是，这里对基准节点也列了功率方程。这样，在平衡点有三个功率方程和三个电压变量，由此可得平衡点的雅可比元素。
　　应注意，以上所述方程及变量皆为复数形式。在计算i节点的功率时，可以应用式（1）得到，此时式（1）中的j应记入gi点。在计算平衡节点i相对应的雅可比矩阵元素时，类似于PQ节点处理，可将上述功率方程对应的修正方程ΔSαi＝0进行泰勒展开并取线性项，可以得到以下方程：其中：p＝b，c；m＝b，c。另外，平衡节点功率偏差方程对应其他节点的电压的雅可比元素的计算方法与PQ节点的相同（即p＝a，m＝b，c或p＝b，
　　设节点k为平衡节点（对应内节点为gk），则整个系统的完整修正方程形式如式（17）。
　　从式（17）可以看出，雅可比矩阵的第ka（对应基准点）列出现了很多零元素，这是因为此处对应的变量是引入的内节点电压，由于内节点只和k点相连，和系统中其他节点不相关，所以出现了一系列零元素。这样，通过处理平衡节点，系统的雅可比矩阵仍然是常数矩阵，且只与系统的导纳有关，可直接由导纳阵得到，不需要其他附加计算，在迭代过程中雅可比阵也保持不变，而不像牛顿－拉夫逊法那样需要每次重新形成，因此大大减少了计算量。由式（17）求得修正量，再对节点电压进行修正，见式（18）和式（19）。
4　算例及分析
　　本文选取了11节点［7］、20节点［3］和34节点［5］三个配电系统对提出的算法（以下简称CNR法）进行验证，并将该法与牛顿法（NR法）进行收敛性能比较；同时，测试了CNR法在R／X变化时的收敛特性；另外也检验了此法对含环系统的适应性。
4．1　CNR法收敛性能
　　对以上三个配电网络应用CNR法和NR法，其收敛结果见表1。运算中设定迭代的功率误差均为10－3，基准功率1000kVA。
　　从表1可以看出，本文所述方法和牛顿法相比，其迭代次数稍多。但是，对于常用的牛顿法，尽管其迭代次数较少，但由于在迭代过程中每次都要重新形成雅可比矩阵及进行因子表分解，同时雅可比矩阵元素的计算相当复杂，所以其计算量相当大。而本文提出的常雅可比法只需要在*次迭代时形成一次雅可比阵，进行一次因子表分解，以后
的迭代计算只需进行前代－回代运算即可，所以尽管CNR法迭代次数比牛顿法要多一些，但由于每次迭代的计算量要远远小于牛顿法的计算量，所以总体迭代时间还是较少的。而且，系统节点越多，其时间的优越性越明显。
4．2　测试R／X对方法的影响4．3　对环网的测试
以20节点系统为例，增加支路如表2。
　　由表2可见增加支路1后，系统形成一个环，CNR法迭代6次，NR法迭代3次收敛；当系统增加支路1和支路2并形成两个环时，这两种方法的迭代次数仍然与无环系统一样，分别在6次和3次时收敛。由此可见，本文方法也适用于有环配电网。
5　结论
　　本文的主要工作是根据牛顿法的基本原理，结合配电网的特点，在合理假设的基础上，推导出一种配电网的三相潮流算法．此方法有如下几个特点：
　　（1）通过对平衡节点的适当处理，得到常雅可比矩阵。这样在迭代过程中雅可比阵保持不变，并且可以直接由导纳矩阵得到，而不需要附加计算。因此将雅可比矩阵进行因子表分解后，迭代过程只是前代－回代运算。与传统的牛顿法相比，其计算量明显的减少；
（2）不受电阻电抗比值的影响；
（3）有功、无功迭代计算不解耦；
　　（4）对有环配电网及有接地电容的系统都适用。
　　因此该三相潮流算法可广泛应用于配电网的不对称潮流计算中。